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数学科普|100个人分月饼,你能避开五仁吗?

Helen 罗博深数学

作者 | Helen

文 3021字 阅读时间 8分钟

又是一年中秋佳节,今年你和家人一起吃月饼吗?

你知道分月饼中隐藏着哪些有趣的数学吗?

和孩子一起过中秋的同时,也别忘了带他们思考这些知识!

“露从今夜白,月是故乡明。”

他乡的中秋总是难熬的,唯有月饼才能聊解乡愁吧。

天气一凉下来,我就会想起杭州的榨菜鲜肉月饼。

坐在妈妈自行车后座心急火燎地咬一口,榨菜的清爽,肉的多汁,酥皮的层次......味道就在嘴边,却怎么回忆都想不起来。

听说最近还有更新奇的口味的月饼崭露头角,螺蛳粉馅的月饼甚至还登上了新闻联播。这混搭,真可谓万物皆月饼。

今天我也来沾点中秋的光,和大家一起云吃月饼。

月饼大杂烩

2018年中秋,3个留学生买了10个天南海北不同口味的月饼。Helen想吃3个,Michelle只想吃2个,Shirley想要吃5个。这样的话,一共有多少种不同的分法呢?

因为每个月饼的口味都不一样,我们在分月饼的时候也要把馅料的分配考虑在内。

我们借助盘子工具来简化这个问题。

10 个月饼装在 10 个不同的盘子里排成一排,一共有多少种方法?

第一个盘子,我们可以从 10 个月饼里面选,第二个盘子我们可以从剩下的 9 个里面选,以此类推,我们一共有 10! 种不同的选法。

[* 10! 指的是10的阶乘。也就是10*9*8*7…*2*1。一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积。]

但是我们真的有这么多种分配方法吗?显然不是的。

最前面两个盘子里面的月饼是Michelle的,接下来的三个盘子里的月饼是Helen的,最后五个盘子里的月饼属于Shirley。

对于Helen 来说,她的三个盘子里月饼的顺序是不重要的,先拿到奶黄月饼,再拿到冰皮月饼,最后拿到鲜花月饼和先拿到鲜花月饼,再拿到奶黄月饼,最后拿到冰皮月饼对Helen来说没有区别。那么在Helen的三个盘子里,一共有 3! 种不同的排列方法。对于Michelle 来说就是 2! 种,Shirley 有 5! 种,这些都是我们重复计算的。

除去重复算入的排列方法,实际上其实一共只有 10!/(2!3!5!) 种不同的分配方法,你想明白了吗?

五仁月饼风波

到了2019年中秋,3个人的中秋小分队又多了两个新伙伴,5个人买了10个五仁月饼。假设每个人至少吃1个月饼,那么一共有几种分法呢?

因为只有五仁月饼,大家就只有分得多分得少的问题,不必再考虑不同口味的分配了。

5个人刚好吃10个月饼。你想到怎么分了吗?

我们不妨把月饼排成一排,每两个人的月饼中间插一个小隔板,把2个人的月饼给分隔开,这样一共有多少种分隔方法?

首先我们知道,如果想把月饼分成5份,应该有4个这样的小隔板。因为一共有10个月饼,所以一共有9个位置能让我们摆放小隔板。

图示如下:

●|●|●|●|●●●●●●、

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等等。

可能正在读文章的你已经想到了,这可以用叫做Choose(选择)的函数来表示,也就是 C(9,4) = 9!/4!(9-4)! ,9 个里面选 4 个。

选择 Choose 函数 C(n, k) 是用来计算从 n 个不同物品,选择 k 个,求一共有多少种不一样的选择方法的函数。

选第一个物品的时候,有 n 种选法,第二个是 (n-1) 种,一直到 n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n!/(n-k)!。

注意我们选择k个物品的顺序其实是无关的,所以还要除以我们重复算的 k!种方法,就是 n!/(k!(n-k)!)。还记得上面提到的盘子吗!其实这就相当于把 n 个物品划分为 k 个一组和 (n-k) 个一组。

那如果有同学不想吃月饼的话。这时候我们又要怎么分呢?我们的小隔板在这里还有用吗?当然是有用的啦!

情况就可能会变成

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等等。

这里唯一的变化就是,小隔板之间不一定要有月饼,因为有的同学不吃。隔板还是4个,但是可以摆放的位置就不仅仅只有9个了。

我们把隔板和月饼排成一排,一共10 + 4 = 14 样物品,因为隔板之间不一定需要有月饼,所以可以放在任意14个不同的位置。那么答案就是 C(14, 4),14选4。

月饼全席

2020年中秋,我们终于号召起了100个留学生聚在一起吃月饼!他们每人带了一个月饼,所有的月饼都装在一样的包装里。现在将这些包装好的月饼随机分享给大家,有多少种不同的情况,使任何一个人拿到的都不是自己带来的月饼?

其实这道题目是很经典的大学排列组合题,讨论的是随机分配(Derangement)。每个排列组合问题都有好多种解法,今天给大家介绍其中一种。

我们将 n 个月饼分给 n 个同学,用 D(n) 表示这样一种特殊情况,即100人中,有n名同学拿到的不是自己的月饼,这里我们要讨论的就是 n=100 时的情况 。

在这里D指的就是上文提到的随机分配, Derangement,n 则表示我们需要研究 n 对物品的随机重新配对,一共有多少种不同的重新方式,使任何一对新组合都与原先的组合不同。在数学里,把未知的问题转换为更简单的已知问题,是一种非常常见的核心理念,在这里我们也想把 D(100) 转化为更简单的情况。

• 第一个来的Helen同学带来了榨菜鲜肉月饼(我们用字母A来表示),她不拿到A的情况有 (100-1=99) 种。

• 我们再来看Michelle同学,如果她拿到了A,那么剩下的(100-2=98)个同学只能分98个月饼。这种情况相当于我们随机分配其余的98个月饼给其余的98个同学,也就是D(98)。再考虑Helen的99种选择,一共是99*D(98)种情况。

• 如果Michelle没有拿到A,那么她和其他98个同学可以一起分其余的99个月饼, 也就是D(99)。再考虑Helen可以选择的(100-1 = 99)种不同情况,所以99*D(99)。

• 因为Michelle拿到榨菜鲜肉月饼和不拿到榨菜鲜肉月饼都有可能发生,所以两种都需要考虑。最后D(100) = 99(D(98) + D(99))。

当然问题到这里还没有结束,我们只进行了转化的这一步,要想得到最终的结果我们还需要考虑一些简单的例子。

如果现在只有Helen一个同学来参加月饼全席,她带来了榨菜鲜肉月饼,无论如何她都只能吃到榨菜鲜肉这一种月饼,所以每个人不吃到她带来月饼的情况是0,D(1) = 0。如果有两个小伙伴,那么只有一种情况就是他们互相交换,所以 D(2) = 1。如果有三个小伙伴,我们就能用到我们之前发现的公式啦。

D(3) = 2(D(2)+D(1)) = 2(1+0) = 2

D(4) = 3(D(3)+D(2)) = 3(2+1) = 9

D(5) = 4(9+2) = 44

现在你能想到答案究竟是多少吗?

这是一个比较难解的递推关系式,但是火眼金睛的你可能看出了这实际上是一个子阶乘。

这个问题的解决过程实际上就是子阶乘的定义。今天我就不在这里进一步延伸啦!如果想了解更多关于子阶乘的知识,欢迎关注我们以后推送的文章哦!

写文章的时候正是夜深人静的午夜,突然想起了《邯郸冬至夜思家》的那句“想得家中夜深坐,还应说着远行人”。

小时候一直不明白,写文章为什么总要引用一些诗句,现在明白了。

这些莫名的情绪,总可以转化成应和的诗句。

就像那些未知的问题,总能找到已知的奇妙办法一样。

这就是我们的浪漫吧。

在中秋佳节,Daily Challenge团队祝你:

不论爱吃榨菜鲜肉,奶黄流心还是五仁豆沙,都能和至亲至爱一起共享天伦,平安健康!

· 感谢您的阅读 ·

原标题:《数学科普|100个人分月饼,你能避开五仁吗?》

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  • 编辑:程成
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